#数楽 「q差分版をどうして扱いたいのか？」という質問に関するPaul Painlevé at JPN さん @Paul_Painleve の回答に付け加えるべきことがあるとすれば、量子群との関係について。返答連鎖に続くhttps://twitter.com/SA_HyperGeo/status/855428670403469312 …

#数楽 「q差分版をどうして扱いたいのか？」に関するPaul Painlevé at JPNさんの回答はリンク先のツイートから始まる返答連鎖にあります。https://twitter.com/Paul_Painleve/status/855822083904765952 …

#数楽 任意の量子群が「q差分版」であるわけではないのですが、Kac-Moody代数の普遍展開環のq差分版(Drinfeld-Jimboの量子展開環)は「量子群」と呼ばれている数学的対象の中で特に扱い易い性質を持っており、非常に詳しく調べられています。続く

#数楽 続き。「様々な種類の数学のq差分版が存在する」という現象について系統的に詳しく研究され始めたのは量子展開環が発見された時期からだと思います。量子可積分系や組み紐やリンクの不変量と3次元多様体の量子不変量などと量子展開環は関係しています。続く

#数楽 続き。基本的に素性の良いパラメーターの個数が増えることは数学的にありがたいことです。「素性が良い」の意味は「きれいな公式が得られること」や「一つの分野だけの孤立した現象ではなく、様々な分野で同じようなパラメーターを導入可能であること」などを意味します。続く

#数楽 続き。きれいな公式が得られてかつ複数の分野にまたがる素性の良いパラメーターの導入はどんなものであれ、数学的には大歓迎だと思います。q差分のqについても難しく考えずに、このように考えておけばよいと思います。もしかしたら、あなたが新パラメーターを発見するかもしれない。

#数楽 ここで注意。「古典版とその(正準)量子化版の区別」と「(通常の)微分版とq差分版の区別」は異なります。歴史的な理由で専門用語的にその辺が混乱しているので、新たに学び始める人達は「何を扱っているか」の解釈に注意を払う必要があります。続く

#数楽 続き。例：q差分パンルヴェ系は古典力学としてのq差分版である。例：Lie代数の要素は微分する操作の一種であり、Lie代数の展開環は、交換関係で定義される代数なので、通常の微分版で(正準)量子化された場合。量子版だがパラメーターqは入っていない。続く

#数楽 続き例：Lie代数aの双対空間a^*上の多項式環はaで生成される対称代数と同一視でき、Lie代数の構造からPoisson構造が自然に入る。それは微分版でかる古典(力学)版。Lie代数の普遍展開環はこの場合の正準量子化とみなされる。続く

#数楽 例：Kac-Moody代数(特に扱い易いLie代数)の双対空間は通常の微分版の古典力学の対称であり、その普遍展開環はその量子化で、その量子展開環は普遍展開環のq差分版とみなせます。1つのKac-Moody代数から、微分古典版、微分量子版、q差分量子版が得られる。

#数楽 例：さらにややこしいことに、以上の群バージョンもあります。Kac-Moody群には自然には自然にPoisson構造が入り、その場合は微分版ではなく、群版でかつ古典力学版になります。その量子化は大雑把には量子展開環の双対になり、qは正準量子化のパラメーターになります。

#数楽 続き。量子展開環を普遍展開環のq差分版とみなしたときのqはq差分化のパラメーターであり、量子展開環の双対をPoisson群(上の函数環)の量子化とみなしたときのqは正準量子化のパラメーターとみなされます。

#数楽 例：さらにさらにややこしいことに、典型的なq差分パンルヴェ系(これは古典力学版)の素性の良い(正準)量子化の構成を試みると、古典版には無かった場所にパラメーターqが非自明な形で入って来ます。詳しくは私の研究→ http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20150731QuantizationOfPainleveTau.pdf …

#数楽 続き。素性の良いq差分版でかつ正準量子化版のパンルヴェ系を構成する試みについてはこの講演スライドも見て下さい→ http://www.math.tohoku.ac.jp/~kuroki/LaTeX/20150914QuantumPainleveTau.pdf …

#数楽 続き。q差分化してかつ量子化すると(もしくは量子化してかつq差分化すると)実質的に(全部表に見えているとは限らない)、パラメーターが2つ増えていることになります。素性の良いパラ―メーターが増えるのはとてもよいことです(笑)。正準量子化が素性が良いことは確実でしょう。

#数楽 以上は主にパラメーターqに関する「量子群」関係の話。パラメーターqのもう一つの重要な由来は有限体の位数としてのqでしょう。(注意：量子群の意味でのqと有限体の意味でのqは2乗もしくは平方根の違いが出ることが多いので注意した方がよい。) 続く

#数楽 位数qの有限体における直線Lの有理点の個数はqです(当たり前)。だから、パラメーターqの「幾何的」な一つの解釈は「直線L」です。直線は幾何的対象の基礎的な材料なので、そういう解釈をすればパラメーターqの出現が不可避であることがわかったような気分になります(気分だけ)。

#数楽 直線Lがパラメーターqの源泉になっていることについては "motivic integration" "quantum dilogarithm" に関する文献を見て下さい。私はその方面については全然詳しくありません。https://scholar.google.co.jp/scholar?q="motivic+integration"+"quantum+dilogarithm" …

#数楽 そこまで「おおげさ」な話にしなくても、普通のq解析の解説にもあるように、GL_nやグラスマン多様体の有限体上での有理点の個数を勘定してみるという演習問題を解けばどのように自然にパラメーターqが出て来るかを納得し易いと思います。グラスマン多様体からq二項係数が出て来る。

#数楽 20世紀の数学の大成果の一つに「有限体上での有理点の個数を数えるという行為は数学的に超がつくほど極めて数学的に素性がよい行為である」ということがあります(Weil予想関係の数学)。q差分のqの導入はその立場からも相当に非自明な形で正当化されるとも考えられます。

#数楽 q差分パンルヴェ系の研究が数学的に孤立していないことを説明するために色々難しそうな話もしていますが、実際にはあんまり難しく考えずに、「きれいな公式が得られてかつ様々な数学の分野に導入可能なパラメーターの追加は数学的にとても良いことだ」と単純に考えておけばよいと思います。

#数楽 "どうしてq差分化したいのか？――素性の良いパラメーターを増やすことは常に良いこと"https://twitter.com/i/moments/855971634829680641 …

Paul_Panleve at JPN さん、ごめんなさい。大量にリプライがそちらにとんでしまっていることを気付かずに連続ツイートしてしまいました。

#数楽 補足：n-1次元射影空間の位数vの有限体での有理点の個数は(v^n-1)/(v-1)であり、q→1/qで不変なq数は[n]_q=(q^n-q^{-n})/(q-q^{-1})=q^{1-n}(q^{2n}-1)/(q^2-1)なので、v=√q という対応になっています。